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Geometria Plana.

Capítulo 1.

Triângulos

 

  • É um tipo de polígono formado por três retas e três ângulos em que as retas reúnem-se duas a duas e a soma dos ângulos internos é sempre 180 graus.

 

Triângulo equilátero

1.1 - ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO

 

  • Vértices – são os pontos A, B, C

  • Lados – os segmentos AB, BC, AC são os lados do triângulo

  • Ângulos – a, β, δ são os ângulos do triângulo 

     

     

     

                                    PROPRIEDADE PRINCIPAL DE TODOS OS TRIÂNGULOS:

     

                       --> a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180º 

a + β + δ = 180

1.2 - CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS

1.3 - MEDIANA, ALTURA e BISSETRIZ

1.4 - PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO

 

  • Baricentro

  -->é o ponto de intersecção das medianas

PROPRIEDADES:

A parte que contém o vértice é o dobro da outra

 

Ou seja:

 

BO=2*DO

BO=2/3*BD

DO=1/3*BD

AE – mediana relativa ao lado BC

BD – mediana relativa ao lado AC

CF – mediana relativa ao lado AB

  • Incentro

  -->é o ponto encontro das bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo

PROPRIEDADES:

 I – É o centro da circunferência inscrita ao triângulo

II – É eqüidistante dos lados

 

Ou seja:

 

MI = NI = PI

 COMPLEMENTO

 

Teorema da bissetriz interna:

 

--> Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos (aditivos) proporcionais aos lados adjacentes.

 

Teorema da bissetriz externa:

 

--> Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intercepta a reta que contém o lado oposto, então ela divide este lado oposto externamente em segmentos (subtrativos) proporcionais aos lados adjacentes.

A demonstração do teorema da bissetriz interna e da bissetriz externa está nos livros de geometria plana

  • Circuncentro

  -->é o ponto de intersecção das mediatrizes

PROPRIEDADES:

 I – É o centro da circunferência circunscrita ao triângulo

II – É eqüidistante dos vértices

Ou seja:

 

AO=BO=CO

CURIOSIDADE:

 

Num triângulo retângulo o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa

  • Ortocentro

  -->é o ponto de intersecção das alturas

  • Particularidade do Triângulo Equilátero

-->Todos os pontos notáveis são coincidentes

PROPRIEDADES: O centro do triângulo “O” é:

 

 I – O centro da circunferência inscrita e circunscrita ao triângulo

II –  Eqüidistante dos vértices

III – Ao mesmo tempo o BARICENTRO, o INCENTRO, o CIRCUNCENTRO, e o ORTOCENTRO logo:

Ou seja:

 

BO=2*OF

BO=2/3*BF

OF=1/3*BF

 

 

CO=2*OD

CO=2/3*CD

OD=1/3*CD

 

 

AO=2*OE

AO=2/3*AE

OE=1/3*AE

 

 

AO=BO=CO

DO=FO=EO

1.5 - TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO

-->um ângulo externo é igual a soma dos ângulos internos não adjacentes

δ = a + β

1.6 - RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

 

Em relação ao triângulo ABC temos:

b,c  --> catetos

h     --> altura

a     --> hipotenusa

m,n --> projeções

    a --> ângulo reto

OBS: As relações métricas acima (exceto Pitágoras) são encontradas através de semelhança de triângulos.

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